B2: Stereometrie - allgemein

„Stereometrie” ist der sperrige griechischstämmige Begriff für „Raummessung”. Ich bevorzuge den Ausdruck Körperberechnung.

1. Grundbegriffe

Wenn man auf der entsprechenden Seite der Formelsammlung schaut, nämlich auf Seite 2: „Körper”, so sieht man: Es geht immer um das Volumen V und die Oberfläche O (auch um die Mantelfläche M, die ist aber ein Teil der Oberfläche). Warum ist das so? Es stehen praktische Anwendungen dahinter. Zum Beispiel: Es soll ein Stahlträger (zum Abstützen einer Mauer beim Einbau eines neuen Fensters) hergestellt werden. Wieviel Stahl braucht man? Dazu muss man das Volumen des Trägers kennen.
Oder wir möchten einen Liter Saft in eine Verpackung bringen, die möglichst wenig Material braucht. Die Menge des Verpackungsmaterials hängt von der Oberfläche der Verpackung ab - je kleiner, je besser.

Wenn man den Verpackungskarton an den Kanten zerschneidet, so kann man die Oberfläche flach ausbreiten: Dies ist das sogenannte Netz. Hier einige Netze mit Schrägbildern:

2. Zusammengesetzte Körper

Es gibt Objekte, die aus einfachen Teilkörpern zusammengesetzt sind. In der folgenden Abbildung sieht man bei A eine Sternwarte: Sie ist aus einem Zylinder und einer Halbkugel zusammengesetzt.
Bei B sieht man so etwas wie einen etwas kurz geratenen Kirchenturm: Er besteht aus einem Quader und einer Pyramide.
Und bei C ist ein Kreisel dargestellt: Er besteht aus zwei Zylindern und einem Kegel.

Für das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zählt man alle Volumina der Teilkörper zusammen. Bei der Sternwarte:
V_Sternwarte=V_Zylinder+½V_Kugel=π⋅r²⋅k+1/2⋅4/3⋅π⋅r³=π⋅2,5²⋅3+1/2⋅4/3⋅π⋅2,5³=58,90+32,72=91,62m³.

Bei der Oberfläche kann man nicht einfach alles aufaddieren: Die Kontaktflächen, also da wo die Einzelkörper aufeinandertreffen, zählen nicht mit.

Hier gibt es noch weitere vier zusammengesetze Körper. Wir können jeweils das Volumen berechnen. Überlege zuerst, aus welchen Teilkörpern der Körper besteht.

V_a)=V_Quader+V_Pyramide=10⋅10⋅4+⅓10²⋅11=766,67

V_b)=V_Würfel+V_Pyramide=1,5³+1,5²⋅2=7,875

V_c)=V_Z1+V_Z2=π⋅2²⋅5+π⋅1²⋅3=72,26

V_d)=V_Zylinder+V_Kegel=π⋅1,5²⋅5+⅓π⋅1,5²⋅2=40,06

3. Berechnung mit unterschiedlichen Einheiten

Sind Größen mit unterschiedlichen Einheiten angegeben, dann muss man sie erst anpassen. Als Beispiel betrachten wir 3.c). Da geht es um Quader, also V=a⋅b⋅c. Das Volumen ist in cm³ angegeben, die Längen aber nicht in cm, sondern in mm. Wir passen die Längen an, indem wir sie in cm umrechnen:
b=50mm=5cm, c=12mm=1,2cm. Dann können wir in die Formel einsetzen:
18=a⋅5⋅1,2 => a=3cm.

Was du genau anpasst, steht dir frei. So kannst du bei 1. b) die Höhe h=25cm in dm umrechnen oder das Volumen V=10dm³ in cm³.