4. Extrema
Zum Thema "Extrema" gehören die Minima oder Tiefpunkte und die Maxima oder Hochpunkte.
Wenn du die genauen Hintergründe nicht noch einmal lesen möchtest, dann gehe gleich zum Beispiel und den Übungsaufgaben.
1. In einem Extrempunkt muss die Steigung null sein, denn sonst würde in der Nähe eines "Tiefpunkts" ein noch tieferer Punkt sein. Dann ist der "Tiefpunkt" aber eben keiner. Genauso beim Hochpunkt.
Also muss auch die erste Ableitung an der Stelle eines Extrempunktes null sein, denn die erste Ableitung ist die "Steigungsfunktion" (auch wenn man sie so nicht nennt). Es muss also gelten:
f'(xE)=0 für eine mögliche Extremstelle xE.
Diesen Umstand nennt man die notwendige Bedingung.
2. Dies reicht aber nicht, denn auch in einem Sattelpunkt ist die Steigung null. Deshalb zieht man noch die Krümmung an den xE-Stellen hinzu.
Ist nämlich die Krümmung größer null, also positiv, dann ist der Graph linksgekrümmt und es gibt einen Tiefpunkt. Ist die Krümmung hingegen kleiner null, also negativ, dann ist der Graph rechtsgekrümmt und an der Stelle liegt ein Hochpunkt vor.
Sind beide Bedingungen erfüllt, so spricht man von einer hinreichenden Bedingung, d.h. sind beide erfüllt, so liegt ein Extrempunkt vor.
Die Krümmung erhalten wir mit der zweiten Ableitung, sie ist die "Krümmungsfunktion":
Ist f''(xE)<0 => Hochpunkt,
ist f''(xE)>0 => Tiefpunkt.
Beispiel:
Übungsaufgaben